ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA WŁASNEGO DLA NIEPRYZMATYCZNEGO ŁUKU KOŁOWEGO Z WYKORZYSTANIEM SZEREGÓW CZEBYSZEWA

Przedmiotem analizy jest zagadnienie własne luku kołowego o zmiennym przekroju, opisane według teorii Bernoulliego-Eulera. Problem jest rozwiązywany z wykorzystaniem metody aproksymacyjnej, w której do aproksymacji wykorzystuje się szeregi wielomianów Czebyszewa I rodzaju. Zastosowana w pracy metoda jest oparta na ogólnym twierdzeniu opisującym związki rekurencyjne dla równań różniczkowych o zmiennych współczynnikach. Metoda ta prowadzi do wyznaczenia nieskończonego układu równań algebraicznych, którego współczynniki są określone zamkniętymi formułami analitycznymi. Formuły te w sposób jawny zależą od wyrazów szeregów, w które rozwinięto zmienne współczynniki wyjściowych równań różniczkowych. Otrzymana w ten sposób ogólna postać równań algebraicznych pozwala na rozwiązanie analizowanego zagadnienia dla dowolnych geometrycznych parametrów łuku, takich jak: krzywizna, zmienne pole i zmienny moment bezwładności przekroju czy gęstość łuku. Do analitycznych formuł opisujących współczynniki układu równań algebraicznych wystarczy bowiem podstawić współczynniki szeregów opisujących parametry materiałowe i geometryczne łuku. W celu weryfikacji poprawności oraz skuteczności otrzymanego algorytmu uzyskane prezentowaną w pracy metodą częstości i formy własne porównano z wynikami uzyskanymi metodą elementów skończonych. Obliczenia wykonano programem Cosmos/M, stosując do aproksymacji elementy belkowe 3D o liniowo zmiennym przekroju. W celu oceny różnicy między formami własnymi wyznaczono dla nich standardowy indeks MAC (Modal Assurance Criterion). Otrzymane rezultaty potwierdziły poprawność oraz skuteczność omawianej w pracy metody.

Pełny tekst (pdf)

1.  Chindamparam P., Leissa A.W.: Influence of centerline extensibility on the in-plane
     free vibrations of loaded circular arches. Journal of Sound and Vibration, 183(5),
     779-795, 1995.

2.  Lee S.-Y., Sheu J.-J., Lin S.-M.: In-plane vibrational analysis of rotating curved
     beam with elastically restrained root. Journal of Sound and Vibration, 315,
     1086-1102, 2008.

3.  Huang C.S., Tseng Y.P., Leissa A.W., Nieh K.Y.: An exact solution for in-plane
     vibrations of an arch having variable curvature and cross section. International
     Journal of Mechanical Sciences, 40(11), 1159-1173, 1998.

  4. Kawakami M., Sakiyama T., Matsuda H., Morita C.: In-plane and out of plane free
       vibrations of curved beams with variable sections. Journal of Sound and Vibration,
       187(3), 381-401, 1995.

  5. Liu G.R., Wu T.Y.: In-plane vibration analyses of circular arches by the generalized
       differential quadrature rule. International Journal of Mechanical Sciences, 43,
       2597-2611, 2001.

  6. Shin Y.-J., Kwon K.-M., Yun J.-H.: Vibration analysis of a circular arch with
       variable cross-section using differential transformation and generalized differential
       quadrature. Journal of Sound and Vibration, 309, 9-19, 2008.

  7. Tong X., Mrad N., Tabarrok B.: In-plane vibration of circular arches with variable
       cross-sections. Journal of Sound and Vibration, 212(1), 121-140, 1998.

  8. Huang C.S., Nieh K.Y., Yang M.C.: In-plane free vibration and stability of loaded
       and shear-deformable circular arches. International Journal of Solids and Structures,
       40, 5865-5886, 2003.

  9. Nieh K.Y., Huang C.S., Tseng Y.P.: An analytical solution for in-plane free
       vibration and stability of loaded elliptic arches. Computers and Structures, 81,
       1311-1327, 2003.

10. Krishnan A., Dharmaraj S., Suresh Y.J.: Free vibration studies of arches. Journal of
       Sound and Vibration, 186(5), 856-863, 1995.

11. Yang F., Sedaghati R., Esmailzadeh E.: Free in-plane vibration of general curved
       beams using finite element method. Journal of Sound and Vibration, 318, 850-867,
       2008.

12. Öztürk H., Yeşilyurt I., Sabuncu M.: In-plane stability analysis of non-uniform
       cross-sectioned curved beams. Journal of Sound and Vibration, 296, 277-291, 2006.

13. Ruta P.: Application of Chebyshev series to solution of non-prismatic beam
       vibration problems. Journal of Sound and Vibration, 227(2), 449-467, 1999.

14. Ruta P.: The application od Chebyshev polynomials to the solution of the
       nonprismatic Timoshenko beam vibration problem. Journal of Sound and Vibration,
       296, 243-263, 2006.

15. Meissner M., Ruta P.: Out-of-plane vibrations of curved nonprismatic beam under
       a moving load. Journal of Civil Engineering and Management, 18(6), 773-782, 2012.

16. Paszkowski S.: Zastosowanie numeryczne wielomianów i szeregów Czebyszewa.
       PWN, Warszawa 1975.