Analiza modeli całkowania i różniczkowania ułamkowego

W artykule przeanalizowano dokładność modeli ułamkowych członów całkoworóżniczkowych w ujęciu Riemanna, Riemanna-Liouville’a, Grünwald–Letnikov i Oustaloupa względem modelu opracowanego na podstawie przekształcenia Laplace'a jako modelu wzorcowego. Pokazano wady i zalety każdego z tych modeli. Zaproponowano modyfikację aproksymacji Oustaloupa, która pozwala realizować regulatory systemów elektrotechnicznych ułamkowego rzędu przy użyciu mikrokontrolera. Badania prowadzone przez autorów dotyczące możliwości aproksymacji ułamkowych członów transmitancją rzędu całkowitego wykazały, że reprezentacja całkującego członu ułamkowego za pomocą pakietu NINTEGER z dość wysokim rzędem aproksymacji (N?5) zgadza się z wynikami aproksymacji Oustaloupa. Jednak w pierwszej chwili odpowiedzi jednostkowe zmieniają się skokowo, z czym nie można się zgodzić dla członu całkującego. Aby rozwiązać ten problem zaproponowano modyfikację metody aproksymacji Oustaloupa. Modyfikacja ta polega na tym, że stopień wielomianu licznika jest zmniejszony o jeden. Dla weryfikacji takiego postępowania zostało przeprowadzone badanie możliwości pominięcia jednego zera w transmitancji aproksymacyjnej, albo usunięcia składowej wielomianu licznika najwyższego stopnia s. Wyniki takich badań wykazały korzyść drugiego podejścia. Dokładność modeli NINTEGER i Oustaloupa jest praktycznie jednakowa, tylko model Oustaloupa realizuje się w programie MATLAB, a model NINTEGER w programie MATLAB Simulink. Tym samym wyniki symulacji z wykorzystaniem modelu Oustaloupa znajdują się w pamięci programu MATLAB co ułatwia ich analizę. Należy zaznaczyć, że model Oustaloupa pozwala w dość prosty sposób realizować ułamkowe regulatory wskutek prostoty procedury obliczeń, chociaż dokładność tego modelu nie jest wysoka.

Pełny tekst (pdf)

[1] Busłowicz M. Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych i ciągłych układów niecałkowitego rzędu. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2010, str. 93-114. 

[2] Duarte Pedro Mata de Oliveira Valerio. Ninteger v 2.3 Fractional control toolbox for Matlab. User and programmer manual. Universidade tecnica de Lisboa instituto superior tecnico. 2005. pp. 96

[3] Dzieliński A., Sierociuk D., Sarwas G.. Some applications of fractional order calculus A. Bulletin Of Polish Academy Of Sciences. Warsaw: Technical Sciences, vol. 58 (4). 2010. pp. 583 – 592.

[4] Fortuna L., Graziani S., Muscato G., Nunnari G., Porto D.. Approximation of HighOrder Lumped Systems by using Non-Integer Order Transfer Functions. Proc. of the 7th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED99). 1999. pp. 2222–2230.

[5] Leon O. Chua. Fractional order systems. Modeling and control Applications. World scientific series on nonlinear sciences. Series A. vol.72. Chapter 1. Fractional Order Systems. pp. 1-32.

[6] Maiti D., Biswas S., Konar A. Design of a Fractional Order PID Controller Using Particle Swarm Optimization Technique. Proc. 2nd - National Conference on Recent Trends in Information Systems (ReTIS-08). 2008. p.5.

[7] Marushchak Y.Y., Kopczak B.L. Ułamkowe standardowe formy stosowane do syntezy systemów elektromechanicznych. Czasopismo „Systemy elektrotechniczne i komputerowe.” Wydanie tematyczne „Problemy Automatyzowanego Napędu Elektrycznego. Teoria i praktyka”. „Technika”. Kijev. Wyd. 15(91). 2014. ss.57-60. (w j.ukrainskim).

[8] Mehdi Dalir. Application of fractional calculus. Applied Mathematical Sciences, Vol. 4, 2010, pp. 1021-1032.

[9] Podlubny I. Fractional Differential Equations/Mathematics in Science and Engineering. Vol. 198. -Academic Press. 1999. pp. 340.

[10] Wasilew W.W., Simak L.A.: Ułamkowe obliczenia i metody aproksymacyjne w modeluwaniu systemów dynamicznych, NAN, Kijev, ss. 256. 2008 (w j. rosyjskim).